録画中に音ズレが大きくなる現象は別の原因があるため分かりません。ここではハードウェアエンコードのGC311固有と思われる音ズレに関してです。
USBキャプチャー機器のAVerMedia GC311、AVerMedia StreamEngineを使って録画するとGC311でエンコードされたデータそのままで取り込めるのですが、サポートが終了して配布も終了した古いソフトなので、StreamEngineが原因でOBS Studioが落ちることがよくあります。
しかし、StreamEngineに依存しないでOBS側で録画すると音ズレが発生してうまく録画できない状態でした。
OBSや現行のAVerMediaのソフト「AssistCentralPro」の設定を色々変えてみましたが、OBSのGC311プロパティ「利用可能な場合はハードウェアデコードを使用する」のチェックを外したら音ズレが発生しなくなった。
映像フォーマットはH.264にしてハードウェアデコードを無効にした。
音ズレの様子はYouTubeに動画を投稿したのでそちらを確認
パソコン（GPU)での再エンコードが発生しますがこれでOBSで直接録画できそうです。StreamEngineだと画質の設定が出来ましたが、これは妥協しました。
AssistCentralProでも画質の変更が出来ますが、OBSでデバイスを直接GC311にしてると効果があるのか分からないのと、関連するキャプやソフトStreaming Centerで効果はあるそうですが、フレームレートが60fpsや30fps固定で、59.94fpsや29.97fpsで取り込めないので、個人的に扱いにくいソフトです。
AssistCentralProで白い線の除去方法（HDMIコンバーターからの取り込み）
特定の環境での話ですが、ラトックシステムのコンポーネント to HDMIコンバーター「RS-CP2HD」で1080iの映像をHDMIで出力すると画面真ん中の下部に白い線が表示されます。
GC311は1080iなどのインターレースの映像をインターレース解除して取り込んでるみたいで、映像ソースのタイミングによって白い線が消えて表示することがあります（厳密には映像が数ピクセルズレて白い線が画面外に隠れる）。
StreamEngineだと画質を変更したときの再描画を繰り返すと、白い線が表示しなってました。
AssistCentralProは画質を変えても再描画されることがないですが、HDCP検出機能の有効/無効切り替えで白い線が表示しなくなります。
HDCP検出機能の有効/無効は関係なく再描画されるタイミングによるので、白い線が消えるまで根気よくHDCPを切り替えます。
HDMI出力のあるゲーム機などを取り込む場合はHDCPの有効無効の設定は関係してきますが、今回はコンバーターでD端子（コンポーネント）からHDMIに変換しているので、白い線が消えればHDCPが有効でも無効でもどちらでもいいです。
